Homologische invarianten van dynamische systemen en kwantumgroepen berekenen

De doordringende rol van algebraïsche topologie in de wiskunde is
het bewijs van de krachtige effecten die homologische invarianten
produceren in de ontwikkeling van het vakgebied. Het uitbreiden van
deze technieken buiten de categorie van topologische ruimten, om
"gekwantiseerde" systemen op te nemen die voortkomen uit
dynamische systemen en (kwantum)groepen, zal uiterst nuttig zijn
om snelle vooruitgang te boeken op deze gebieden. Het raamwerk
van operatoralgebra's en niet-commutatieve meetkunde is uitermate
geschikt voor deze ontwikkelingen en is al met enig succes
toegepast. Het doel van dit voorstel is om deze homologische
technieken verder te ontwikkelen door ze te ondersteunen met
nieuwe methoden gebaseerd op getrianguleerde categorieën,
homotopietheorie en indextheorie. De onderzoeksproblemen die in
dit voorstel worden aangepakt, houden nauw verband met
belangrijke onderwerpen die veel belangstelling trokken in de
wiskundige gemeenschap. We bestuderen bijvoorbeeld het gevierde
vermoeden van Baum-Connes (voor zowel groupoïden als
kwantumgroepen) vanuit een relatief onontgonnen perspectief en
relateren het aan de berekening van K-theoretische en homologische
invarianten voor opmerkelijke dynamische systemen (bijv. Smale's
Axioma A diffeomorphisms). Dit onderzoek zal wiskundigen voorzien
van zowel conceptueel nieuwe benaderingen als krachtige
rekentools. Deze resultaten zijn ook relevant voor de vastestoffysica
en de kwantuminformatietheorie.