Painlevé analyse van niet lineaire differentiële vergelijkingen. Discrete Painlevé en Gambier vergelijkingen.

Een van de directe methoden die ons toelaten solitonsystemen of quasi-solitonsystemen aan de hand van Painlevé. Deze aanpak die in het begin van deze eeuw geïntroduceerd werd voor gewone differentiaalvergelijkingen en uitgebreid werd naar PDV's in de jaren '80 door Weis, Tabor en Carnevale is een zeer krachtig werkruig om exacte resultaten te vinden zoals de Bäcklund transformaties die een constructief bewijs leveren van de integreerbaarheid van niet-lineaire evolutievergelijkingen die multisoliton oplossingen bezitten. De bijzondere oplossingen van vergelijkingen die fysische fenomenen modeliseren, maar die niet al de wiskundige eigenschappen bezitten van volledig integreerbare systemen met een oneindig aantal vrijheidsgraden. Deze benaderingswijze is gebaseerd op de stuctuur van de singulatriteiten van vergelijkingen in het conpex vlak en maakt gebruik van een test, die nodige voorwaarden levert opdat de Painlevé-eigenschap voldaan zou zijn.