Kwantum symmetrische ruimtes, operator algebra's en quantum cluster algebra's

Het idee van de wiskundige over ruimte is voortdurend geëvolueerd doorheen de geschiedenis van het onderwerp. Voor de oude Grieken werd ruimte gezien als een achtergrond continuüm waarin bepaalde structuren zoals lijnen, driehoeken, cirkels en vlakken kunnen worden gehuisvest en bestudeerd. Hun synthetische benadering werd vervolgens aangevuld met de Cartesiaanse methode, waarin algebraïsche methoden werden gebruikt om bijvoorbeeld krommen in een vlak te bestuderen. Gaandeweg werd duidelijk dat er zoiets bestaat als een abstracte ruimte, die veel verschillende vormen en inherente structuren kan hebben. Een hoogtepunt in deze ontwikkeling is het werk van B. Riemann, dat de juiste wiskundige bewijzen bleek te bieden
raamwerk om de fysische theorie van de algemene relativiteitstheorie te ontwikkelen. Tegelijkertijd heeft de theorie van de kwantummechanica aangetoond dat de behoefte aan een notie van kwantumruimte begrepen moet worden door de methoden van abstracte niet-commutatieve algebra.

Het doel van dit project is om een ​​bepaalde klasse van dergelijke kwantumruimten grondig te bestuderen. In het rijk van de Riemann-ruimtes is er een klasse met een zeer hoge mate van symmetrie, ook wel symmetrische ruimtes genoemd. Deze werden bestudeerd en geclassificeerd door E. Cartan aan het begin van de 20e eeuw. Pas onlangs, vooral door het werk van G. Letzter, is het duidelijk geworden dat men een overeenkomstig begrip van kwantum-symmetrische ruimte heeft. We zullen deze kwantum symmetrische ruimten zowel met analytische methoden (operator algebra's) als met algebraïsche methoden (quantum cluster algebra's) onderzoeken.