Synchronisatie van gekoppelde lasers: rol van vertraging, topologie en complex gedrag.

Inleiding "Synchronisatie" komt etymologisch van het Griekse "??????????", wat betekent: "samen (in de) tijd". In alledaags taalgebruik betekent synchronisatie de overeenstemming of correlatie van verschillende processen in de tijd. In wetenschappelijk jargon is synchronisatie het proces waarbij twee of meer (al dan niet identieke) dynamisch evoluerende systemen hun gedrag op elkaar afstemmen. Dit gebeurt ofwel via een koppeling tussen de systemen ofwel door een gemeenschappelijke externe input [Boccaletti02]. De eerste beschreven studie van synchronisatie dateert van de zeventiende eeuw en is van de hand van Christiaan Huygens: hij bestudeerde pendulumklokken die aan eenzelfde wand hingen en constateerde dat na een tijdje de slingers zich steeds in antifase bewogen. Zelfs als hij een van de slingers eventjes lichtjes perturbeerde, keerde die na vrij korte tijd terug naar de gesynchroniseerde toestand. In 1990 werd ontdekt [Pecora90] dat ook deterministisch-chaotische systemen konden synchroniseren, een bijzonder opzienbarende ontdekking. In hetzelfde jaar al volgde de voorspelling van het optreden van synchronisatie van chaos in gekoppelde halfgeleiderlasers [Winful90]. Niet alleen wierp dit een nieuw licht op beide fenomenen, zowel chaos als synchronisatie, er werden recent ook toepassingen voorgesteld en gerealiseerd in de communicatie en cryptografie [Argyris05]. Synchronisatie wordt dus soms een nieuw paradigma in de niet-lineaire wetenschap genoemd. Naast de synchronisatie van lasers zijn de voorbeelden uit verschillende domeinen legio [Pikovsky]: gesynchroniseerd flitsen van vuurvliegjes, chemische oscillerende reacties als de Belousov-Zhabotinsky reactie, synchronisatie van spieren en het voortbewegen (stappen) van dieren, het synchroniseren van de Londense Millennium Bridge met het stappen van de voetgangers erbovenop, spontane synchronisatie in een applaudisserend publiek, of de synchronisatie van ons bioritme aan dag en nacht ... In de technologie zijn er ook enkele toepassingen van synchronisatie, zoals bv. kloksynchronisatie in de radiocommunicatie. In het bijzonder bij chaotische systemen hoeft de synchronisatie niet noodzakelijk het identiek samenvallen van de dynamica van verschillende systemen in te houden. Verschillende fenomenen die op dit ogenblik uitgebreid bestudeerd worden vallen onder de term synchronisatie. Naast de reeds vermelde identieke synchronisatie, wordt er ook gesproken over veralgemeende, vertraagde ("lag"), en fase-synchronisatie. Veralgemeende synchronisatie van twee systemen met output x1 en x2 betekent dat er een functie H bestaat zodanig dat: lim t???H ?x1(t ) ??x2 (t )???0 . Vertraagde synchronisatie betekent dat er geen instantane synchronisatie meer is van beide systemen, maar nog wel een hoge correlatie als een van beide in de tijd verschoven wordt. Voor wat fase-synchronisatie betreft, is er nog wel correlatie tussen fasen van de oscillaties, maar niet langer op het niveau van de amplitudes van de signalen. Dit illustreert de fascinerende rijkdom van het fenomeen synchronisatie. Het begrijpen van deze aspecten is het voorwerp van actief onderzoek, waartoe we in dit project willen bijdragen. Recent heeft vooral het aspect van vertraging ("delay") in de koppeling tussen subsystemen veel aandacht gekregen. Het optreden van vertraging is immers belangrijk voor een heleboel dynamische systemen. Bij gekoppelde halfgeleiderlasers bvb. is er noodzakelijkerwijs een eindige tijd die het licht moet afleggen tussen de subsystemen. Afstanden van enkele millimeter tot centimeter resulteren in vertragingen die vergelijkbaar of groter zijn dan de eigenperiode van de intensiteitsoscillaties. Maar ook in het menselijk brein treden er vertragingen op in de communicatie tussen verschillende gebieden in de cortex die vergelijkbaar zijn met de tijdsschaal waarop de actiepotentialen ageren. Vertraging heeft een sterke invloed op dynamische systemen; deze invloed is van ambivalente aard. Enerzijds kan vertraging destabiliserend werken en oorzaak zijn van chaotisch gedrag. Anderzijds kan vertraging ook stabiliserend werken en de motor zijn voor het optreden van synchronisatie. Een dergelijk vertraging maakt de dynamica van een systeem veel rijker, maar -vanuit wiskundig oogpunt- ook veel uitdagender. Wanneer twee lasers optisch of opto-elektronisch met elkaar gekoppeld worden, gaan beide chaotisch bewegen. Er treedt veralgemeende synchronisatie op, waarbij de ene laser de andere volgt, met een vertraging gelijk aan de voortplantingstijd van het signaal tussen de twee lasers. Zeer recent is er echter experimenteel aangetoond dat, in een keten van drie gekoppelde lasers (op een lijn), de buitenste lasers identiek gesynchroniseerd kunnen zijn zonder vertraging [Fischer06]. Dit "feit" is op zich opzienbarend: "adding delay to delay produces synchronisation" [Cho06]. Het is deze verrassende ontdekking die ons er toe aangezet heeft om het fenomeen synchronisatie verder theoretisch te willen onderzoeken, in de eerste plaats tussen twee en meer gekoppelde lasers, maar waarbij we de mogelijke relevante extensies naar andere domeinen zoals bv. synchronisatie in de hersenen zeker niet uit het oog willen verliezen.