Samenvatting
De nieuwe resultaten van deze thesis zijn opgedeeld in twee delen, die hier samengevat worden. De rode draad die deze twee delen met mekaar verbindt is dat ze eindige meetkunde bestudeert in het kader van haar interactie met andere takken binnen de combinatoriek.
Het eerste van de twee delen heeft als titel Sterren. In dit deel onderzoeken we snijdende families in cirkelmeetkundes. Een cirkelmeetkunde is een incidentiestructuur die de meetkunde van punten een niet-singuliere vlakke doorsneden op een 3-dimensionaal kwadratisch oppervlak weergeeft. De vlakke doorsneden worden hierbij cirkels genoemd.
Een familie van cirkels wordt snijdend genoemd indien elk paar cirkels uit de familie minstens
één gemeenschappelijk punt heeft. In lijn met de stelling van Erdös-Ko-Rado (en
haar duizend-en-een variaties), kan je verwachten dat grote snijdende families een triviale structuur hebben. We tonen aan dat dit het geval is, en dat de enige manier om een grote snijdende familie te maken bestaat uit het nemen van cirkels door een vast punt. Het bewijs van deze eigenschap steunt op grenzen uit de spectrale grafentheorie. Om deze grenzen toe te kunnen passen, moeten we op zoek naar de eigenwaarden van de relevante grafen. Dit leidt ons tot het verkennen van associatieschema’s die gedefinieerd zijn op de niet-singulier hypervlakken van klassieke polaire ruimten. Zulke schema’s kunnen bijna altijd vertaald worden naar associatieschema’s op de anisotrope punten van
de polaire ruimte. Een associatieschema is op een eindige verzameling P is een verzameling binaire relaties zodat elk paar van elementen van P in exact een van deze relaties voorkomt. De definitie van een associatieschema vereist extra regulariteit op deze relaties, zodat ze aanleiding geeft tot een commutatieve symmetrische matrix algebra. Een rechte door twee anisotrope punten van een polaire ruimte, kan de polaire ruimten typisch op 2 of 3 verschillende manieren snijden. Dit definieert op een natuurlijke manier relaties op de anisotrope punten van de polaire ruimte. De bijhorende associatieschema’s zijn verkend voor de meeste klassieke polaire ruimten, maar niet voor elliptische en hyperbolische kwadrieken over velden van oneven orde in algemene dimensie. Dit ontbrekende
geval wordt onder de loep genomen en de eigenwaarden van dit associatieschema worden uitgerekend.
Het tweede deel heet Gewichtloosheid en behandelt de link tussen eindige meetkunde en codeertheorie. We onderzoeken codewoorden van laag gewicht in codes voortgebracht door incidentiematrices van eindige projectieve ruimten en hun duale codes. Er zijn sterke karakterisaties gekend voor de code van punten en rechten in eindige vlakken van niet-priem orde. Deze resultaten worden veralgemeend naar hogere dimensies. Aangezien de karakterisaties enkel gelden voor velden wiens orde niet priem en voldoende groot is, behandelen we ook zwakkere karakterisaties in algemene dimensies die gelden voor alle eindige velden. Wat betreft de duale codes, reduceren we de studie van codewoorden van minimum gewicht naar de codes van punten en rechten. We gebruiken vervolgens deze reductie om een karakterisatie te geven van de codewoorden van minimum gewicht in velden van kleine even orde.
Het eerste van de twee delen heeft als titel Sterren. In dit deel onderzoeken we snijdende families in cirkelmeetkundes. Een cirkelmeetkunde is een incidentiestructuur die de meetkunde van punten een niet-singuliere vlakke doorsneden op een 3-dimensionaal kwadratisch oppervlak weergeeft. De vlakke doorsneden worden hierbij cirkels genoemd.
Een familie van cirkels wordt snijdend genoemd indien elk paar cirkels uit de familie minstens
één gemeenschappelijk punt heeft. In lijn met de stelling van Erdös-Ko-Rado (en
haar duizend-en-een variaties), kan je verwachten dat grote snijdende families een triviale structuur hebben. We tonen aan dat dit het geval is, en dat de enige manier om een grote snijdende familie te maken bestaat uit het nemen van cirkels door een vast punt. Het bewijs van deze eigenschap steunt op grenzen uit de spectrale grafentheorie. Om deze grenzen toe te kunnen passen, moeten we op zoek naar de eigenwaarden van de relevante grafen. Dit leidt ons tot het verkennen van associatieschema’s die gedefinieerd zijn op de niet-singulier hypervlakken van klassieke polaire ruimten. Zulke schema’s kunnen bijna altijd vertaald worden naar associatieschema’s op de anisotrope punten van
de polaire ruimte. Een associatieschema is op een eindige verzameling P is een verzameling binaire relaties zodat elk paar van elementen van P in exact een van deze relaties voorkomt. De definitie van een associatieschema vereist extra regulariteit op deze relaties, zodat ze aanleiding geeft tot een commutatieve symmetrische matrix algebra. Een rechte door twee anisotrope punten van een polaire ruimte, kan de polaire ruimten typisch op 2 of 3 verschillende manieren snijden. Dit definieert op een natuurlijke manier relaties op de anisotrope punten van de polaire ruimte. De bijhorende associatieschema’s zijn verkend voor de meeste klassieke polaire ruimten, maar niet voor elliptische en hyperbolische kwadrieken over velden van oneven orde in algemene dimensie. Dit ontbrekende
geval wordt onder de loep genomen en de eigenwaarden van dit associatieschema worden uitgerekend.
Het tweede deel heet Gewichtloosheid en behandelt de link tussen eindige meetkunde en codeertheorie. We onderzoeken codewoorden van laag gewicht in codes voortgebracht door incidentiematrices van eindige projectieve ruimten en hun duale codes. Er zijn sterke karakterisaties gekend voor de code van punten en rechten in eindige vlakken van niet-priem orde. Deze resultaten worden veralgemeend naar hogere dimensies. Aangezien de karakterisaties enkel gelden voor velden wiens orde niet priem en voldoende groot is, behandelen we ook zwakkere karakterisaties in algemene dimensies die gelden voor alle eindige velden. Wat betreft de duale codes, reduceren we de studie van codewoorden van minimum gewicht naar de codes van punten en rechten. We gebruiken vervolgens deze reductie om een karakterisatie te geven van de codewoorden van minimum gewicht in velden van kleine even orde.
| Originele taal-2 | English |
|---|---|
| Begeleider(s)/adviseur |
|
| Status | Published - 2024 |